Question

同学们列队，如每排3人，多1人；如每排5人，多3人；如每排7人，多2人。全班至少有几人？

敬请各位高手回答 （请列出算式）

Answer 1

孙子问题在现代数论中是一个一次同余问题，显然，这相当于求不定方程组
N=3x+2
N=5y+3
N=7z+2
的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：
N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②
孙子问题求解过程如下：最小公倍数
在第一组数中找出“除以7余2”的最小数——30；
在第二组数中找出“除以5余3”的最小数——63；
在第三组数中找出“除以3余2”的最小数——35；
则有，30+63+35 = 128 一定是一个符合“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数。但不一定是最小的。
再求128除以105(即3，5，7的最小公倍数)的余数即得23。
为了一般化问题的解法，先来看一个简单的结论：
如果整数 a 除以整数 b 的余数是 1，那么 a 的 2 倍，3 倍，4 倍……b-1 倍除以 b 的余数分别是 1*1，2*1，3*1，4*1，......和(b-1)*1。
例如：15÷7=2……余1，那么：
2*15÷7=4……余 2 (=2*1)
3*15÷7=6……余 3 (=3*1)
4*15÷7=8……余 4 (=4*1)
……
6*15÷7=12……余 6 (=6*1)
基于以上结论，可以如是求解（仍要看上图）：
在第一组中找出 ”除以7余1“ 的最小数－－15
在第二组中找出 “除以5余1” 的最小数－－21
在第三组中找出 “除以3余1" 的最小数－－70
要找的数是 “除以7余2，除以5余3，除以3余2” ，因此一个答案就是
15*2 + 21*3 + 70*2 ＝ 233
要求最小的那个数，只要求233除以105（即3，5，7的最小公倍数）的余数，即23。

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
即，求一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。
这个被称做孙子问题。

孙子算经》所给答案是N＝23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。
“物不知数”题的术文指出的解法为：
三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：
N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105。
有一首口诀就描述了孙子问题的解法：
孙子歌
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百令五便得知。
孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。

Answer 2

孙子问题在现代数论中是一个一次同余问题，显然，这相当于求不定方程组
N=3x+2
N=5y+3
N=7z+2
的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：
N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②
孙子问题求解过程如下：最小公倍数
在第一组数中找出“除以7余2”的最小数——30；
在第二组数中找出“除以5余3”的最小数——63；
在第三组数中找出“除以3余2”的最小数——35；
则有，30+63+35 = 128 一定是一个符合“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数。但不一定是最小的。
再求128除以105(即3，5，7的最小公倍数)的余数即得23。
为了一般化问题的解法，先来看一个简单的结论：
如果整数 a 除以整数 b 的余数是 1，那么 a 的 2 倍，3 倍，4 倍……b-1 倍除以 b 的余数分别是 1*1，2*1，3*1，4*1，......和(b-1)*1。
例如：15÷7=2……余1，那么：
2*15÷7=4……余 2 (=2*1)
3*15÷7=6……余 3 (=3*1)
4*15÷7=8……余 4 (=4*1)
……
6*15÷7=12……余 6 (=6*1)
基于以上结论，可以如是求解（仍要看上图）：
在第一组中找出 ”除以7余1“ 的最小数－－15
在第二组中找出 “除以5余1” 的最小数－－21
在第三组中找出 “除以3余1" 的最小数－－70
要找的数是 “除以7余2，除以5余3，除以3余2” ，因此一个答案就是
15*2 + 21*3 + 70*2 ＝ 233
要求最小的那个数，只要求233除以105（即3，5，7的最小公倍数）的余数，即23。

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
即，求一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。
这个被称做孙子问题。

孙子算经》所给答案是N＝23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。
“物不知数”题的术文指出的解法为：
三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：
N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105。
有一首口诀就描述了孙子问题的解法：
孙子歌
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百令五便得知。孙子问题在现代数论中是一个一次同余问题，显然，这相当于求不定方程组
N=3x+2
N=5y+3
N=7z+2
的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：
N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②
孙子问题求解过程如下：最小公倍数
在第一组数中找出“除以7余2”的最小数——30；
在第二组数中找出“除以5余3”的最小数——63；
在第三组数中找出“除以3余2”的最小数——35；
则有，30+63+35 = 128 一定是一个符合“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数。但不一定是最小的。
再求128除以105(即3，5，7的最小公倍数)的余数即得23。
为了一般化问题的解法，先来看一个简单的结论：
如果整数 a 除以整数 b 的余数是 1，那么 a 的 2 倍，3 倍，4 倍……b-1 倍除以 b 的余数分别是 1*1，2*1，3*1，4*1，......和(b-1)*1。
例如：15÷7=2……余1，那么：
2*15÷7=4……余 2 (=2*1)
3*15÷7=6……余 3 (=3*1)
4*15÷7=8……余 4 (=4*1)
……
6*15÷7=12……余 6 (=6*1)
基于以上结论，可以如是求解（仍要看上图）：
在第一组中找出 ”除以7余1“ 的最小数－－15
在第二组中找出 “除以5余1” 的最小数－－21
在第三组中找出 “除以3余1" 的最小数－－70
要找的数是 “除以7余2，除以5余3，除以3余2” ，因此一个答案就是
15*2 + 21*3 + 70*2 ＝ 233
要求最小的那个数，只要求233除以105（即3，5，7的最小公倍数）的余数，即23。

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
即，求一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。
这个被称做孙子问题。

孙子算经》所给答案是N＝23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。
“物不知数”题的术文指出的解法为：
三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：
N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105。
有一首口诀就描述了孙子问题的解法：
孙子歌
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百令五便得知。
孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。
孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。

Answer 3

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