Question

第4题，求伯努利方程通解

Answer 1

（1）解：令z=1/y，则y'=-y^2z'
代入原方程，化简得z'-z=sinx-cosx..........(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程的通解公式，可得方程(1)的通解是
z=Ce^x-sinx
(C是积分常数)
==>1/y=Ce^x-sinx
故原方程的通解是(Ce^x-sinx)y=1。

Answer 2

解：∵y'=(y^2+x^3)/(2xy)
==>2xydy-y^2dx=x^3dx
==>2ydy/x-y^2dx/x^2=xdx
(等式两端同除x^2)
==>d(y^2/x)=d(x^2/2)
==>∫d(y^2/x)=∫d(x^2/2)
==>y^2/x=x^2/2+c
(c是常数)
==>y^2=x^3/2+cx
∴此方程的通解是y^2=x^3/2+cx。