Question

设y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程的

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

解：∵y=e^x
∴y'=e^x
∵y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解
∴x*(e^x)+p(x)*(e^x)=x
=>p(x)=x*[(1-e^x)/(e^x)]
∴微分方程xy'+p(x)y=x就是微分方程xy'+x*[(1-e^x)/(e^x)]*y=x即y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1
设微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1相应的齐次微分方程为
y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=0
=>dy/dx=-[(1-e^x)/(e^x)]*y
=>dy/y=-[(1-e^x)/(e^x)]*dx
=>∫dy/y=∫-[(1-e^x)/(e^x)]*dx
=>lnlyl=∫-[e^(-x)-1]*dx
=>lnlyl=e^(-x)+x+c
=>y=c*[e^(e^(-x))]*(e^x)
设微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1的通解为y=c(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)
则y'=c'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+c(x)*[(e^(e^(-x)))*(-e^(-x))*(e^x)+
(e^(e^(-x)))*(e^x)]
=c'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+c(x)*[e^(e^(-x))]*[(e^x)-1]
代入微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1得
c'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+c(x)*[e^(e^(-x))]*[(e^x)-1]+[(1-e^x)/(e^x)]*c(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)=1
=>c'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)=1
=>c'(x)=e^[-e^(-x)]*e^(-x)
=>c(x)=∫e^[-e^(-x)]*e^(-x)dx
=>c(x)=-∫e^[-e^(-x)]d(-e^(-x))
=>c(x)=-e^[-e^(-x)]+c
∴微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1的通解为y=[-e^[-e^(-x)]+c]*[e^(e^(-x))]*(e^x)
即y=-e^x+c*[e^(e^(-x))]*(e^x)
袱沪递疚郛狡店挟锭锚当x=ln2,y=0时
0=-2+c*(e^(1/2))*2
=>c=e^(-1/2)
∴满足条件y(ln2)=0的特解为y=-e^x+[e^(-1/2)]*[e^(e^(-x))]*(e^x)
好久没做了，都不太会了。