Question

用定义证明：函数f(x)=x^3在其定义域上为增函数

Answer 1

解：首先函数的定义域为R
对于任意x1,x2,且x1>x2
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)
（公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)）

=(x1-x2)[(x1^2+1/4*x2^2+x1x2)+3/4*x2^2]

=(x1-x2)[(x1-1/2*x2)^2+3/4*x2^2]
因为x1>x2，即x1-x2>0
且(x1-1/2*x2)^2+3/4*x2^2>0
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)=x^3在其定义域上为增函数

Answer 2

解：
f(x)=x^3定义域为R
在R上设x1＜x2
那么
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3
因为x1＜x2
∴x1^3＜x2^3
∴f(x1)-f(x2)＜0
∴f(x1)＜f(x2)
∵x1＜x2
所以f(x)=x^3在其定义域R上是增函数

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Answer 3

这里要用到立方差公式
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
设x1<x2
①当x1<x2<0时
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)<0
②当x1<0<x2时
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3<0
说明【x1^3<0
x2^3>0
x1^3-x2^3<0】
②当0<x1<x2时
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)<0
综上f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)=x^3在R上为增函数