Question

高手总结总结一下二重积分,三重积分,还有曲线积分,曲面积分它们的区别和用法.

Answer 1

我之前回答过,也有一份存档.满意请采纳,都是自己的经验.
我从头说起吧,从基本的一元积分说到第二类曲面积分.
关于重积分的算法：
一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)
当被积函数为1时,就是直线的长度(自由度较大)
∫(a→b) dx = L(直线长度)
被积函数不为1时,就是图形的面积(规则)
∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)
另外,定积分也可以求规则的旋转体体积,分别是
盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx
圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx
计算方法有换元积分法,极坐标法等,定积分接触得多,不详说了
∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)
二重积分：有两个自变量z = f(x,y)
当被积函数为1时,就是面积(自由度较大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)
当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)
计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等
极坐标变换：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ
三重积分：有三个自变量u = f(x,y,z)
被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)
当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等
计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等
极坐标变化(切片法)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ a ≤ z ≤ b
{ 0 ≤ r ≤ z₁
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ π
∫(a→b) ∫(α→β) ∫(0→z₁) f(rcosθ,rsinθ,z) r drdθdz
特别地,当f(x,y,z)可表达为f(z)时、
有∫∫∫Ω dxdydz = ∫(a→b) f(z) [∫∫Dz dxdy] dz = ∫(a→b) f(z)(横截面Dz的面积) dz
横截面Dz的面积的表达式是关于z的函数.
极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ,rsinθ,z) r dzdrdθ
极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r²sin²φ drdφdθ
重积分都可以利用对称性来化简：
对于一重积分：
若被积函数关于y轴对称.
则∫(- a→a) f(x) dx = {0,若f(x)关于x是奇函数
{2∫(- a→a) f(x) dx,若f(x)关于x是偶函数
若被积函数关于x轴对称.
则∫(- b→b) f(y) dy = {0,若f(y)关于y是奇函数
{2∫(- b→b) f(y) dy,若f(y)关于y是偶函数
对于二重积分：
若被积函数关于y轴对称.
则∫∫D f(x,y) dxdy = {0,若f(x,y)关于x是奇函数
{2∫∫D₁ f(x,y) dxdy,若f(x,y)关于x是偶函数,D₁是第一挂限
若被积函数关于x轴对称.
则∫∫D f(x,y) dxdy = {0,若f(x,y)关于y是奇函数
{2∫∫D₁ f(x,y) dxdy,若f(x,y)关于y是偶函数,D₁是第一挂限
特别地,当积分区域是关于两个坐标轴都对称时.
而被积函数也是偶函数.则有∫∫D x² dxdy = ∫∫D y² dxdy = (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy
对于三重积分：
若积分域Ω关于zox面对称.
则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于x是奇函数
{2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于x是偶函数,Ω₁是第一挂限
若积分域Ω关于yoz面对称.
则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于y是奇函数
{2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于y是偶函数,Ω₁是第一挂限
若积分域Ω关于xoy面对称.
则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于z是奇函数
{2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于z是偶函数,Ω₁是第一挂限
特别地,当积分区域是关于三个坐标轴都对称时.
而被积函数也是偶函数.则有∫∫∫Ω x² dV = ∫∫∫Ω y² dV = ∫∫∫Ω z² dV = (1/3)∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV
所以越上一级,能求得的空间范围也越自由,越广泛,但也越复杂,越棘手,而
且限制比上面两个都少,对空间想象力提高了.
重积分能化为几次定积分,每个定积分能控制不同的伸展方向.
又比如说,在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积,其中f(x) > g(x)
用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升级的二重积分,面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了
用不同积分层次计算由z = x² + y²、z = a²围成的体积?
一重积分(定积分)：向zox面投影,得z = x²、令z = a² --> x = ± a、采用圆壳法
V = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
二重积分：高为a、将z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²
所以就是求∫∫(D) (x² + y²) dxdy、其中D是x² + y² = a²
V = ∫∫(D) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的
= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
三重积分：旋转体体积,被积函数是1,直接求可以了
柱坐标切片法：Dz：x² + y² = z
V = ∫∫∫(Ω) dxdydz
= ∫(0→a²) dz ∫∫Dz dxdy
= ∫(0→a²) πz dz
= π • [ z²/2 ] |(0→a²)
= πa⁴/2
柱坐标投影法：Dxy：x² + y² = a²
V = ∫∫∫(Ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr
= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)
= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]
= πa⁴/2
三重积分求体积时能用的方法较多,就是所说的高自由度.
关于曲线积分和曲面积分的算法：
如果再学下去的话,你会发现求(平面)面积、体积 比 求(曲面)面积的公式容易
学完求体积的公式,就会有求曲面的公式
就是「曲线积分」和「曲面积分」,又分「第一类」和「第二类」
当被积函数为1时,第一类曲线积分就是求弧线的长度,对比定积分只能求直线长度
∫(C) ds = L(曲线长度)
被积函数不为1时,就是求以弧线为底线的曲面的面积
∫(C) f(x,y) ds = A(曲面面积)
第二类曲线积分的应用有在力场上沿着曲线L所做的功等等
第一类对弧长的曲线积分的算法：
若被积函数是参数方程x = x(t),y = y(t)
则∫(L) f(x,y) ds = ∫(a→b) f[x(t),y(t)] √[x'(t)² + y'(t)²] dt
若被积函数是y = y(x)
则∫(L) f(x,y) ds = ∫(a→b) f[x,y(x)] √[1 + y'(x)²] dx
若被积函数是r = r(θ)
则∫(L) f(x,y) ds = ∫(α→β) f(rcosθ,rsinθ) √[r²(θ) + r'(θ)²] dθ
若积分域关于y轴对称.
则∫(L) f(x,y) ds = {0,若f(x,y)关于x是奇函数.
{2∫(L₁) f(x,y) ds,若f(x,y)关于x是偶函数,L₁是第一挂限
若积分域关于x轴对称.
则∫(L) f(x,y) ds = {0,若f(x,y)关于y是奇函数.
{2∫(L₁) f(x,y) ds,若f(x,y)关于y是偶函数,L₁是第一挂限
若积分域关于y = x对称：
有∫(L) x² ds = ∫(L) y² ds
有∫(L) x ds = ∫(L) y ds
若积分域关于y = x面对称：(轮换对称性)
有∫(L) x² ds = ∫(L) y² ds = ∫(L) z² ds
有∫(L) x ds = ∫(L) y ds = ∫(L) z ds
第二类对坐标的曲线积分的算法：
若被积函数是参数方程x = x(t),y = y(t)
则∫(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫(a→b) { P[x(t),y(t)]x'(t) + Q[x(t),y(t)]y'(t) } dt
若被积函数是y = f(x)
则∫(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫(a→b) { P[x,f(x)] + Q[x,f(x)]f'(x) } dx
若曲线L能围成闭区域D,使用格林公式：
则∮(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫∫D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) dxdy
若曲线L不能围成闭区域,则可以添加线段使其能围成闭区域D,再使用格林公式：
则∫(L) + ∫(L1) + ∫(L2) + ... + ∫(LN) = Σ(k=1→N) ∫(L_k) = ± ∮(L+L1+L2+...) Pdx + Qdy
逆时针取 + 顺时针取 -
若要使用格林公式,而积分域D包含奇点时,则要加起被挖掉奇点部分,再使用格林公式：
被挖掉的L1部分通常是圆形或椭圆形.
即∫(L) + ∫(L1顺时针) = ∮(L+L1)
==> ∫(L) = ∮(L+L1) - ∫(L1顺时针)
==> ∫(L) = ∫(L1逆时针)、若前面部分的二重积分的值为0
若被积函数是三维的,可用斯托克斯公式.
∮(C) Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫Σ rotA * n dS
= ∫∫Σ (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dydz + (∂P/∂z - ∂R/∂x)dzdx + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy
当被积函数为1时,第一类曲面积分就是求曲面的面积,对比二重积分只能求平面面积
∫∫(Σ) dS = A(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大
∫∫(Σ) f(x,y,z) dS,物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等
第二类曲面积分的应用有在单位时间六国曲面Σ的流量等等.
第一类曲面积分的算法：
对于xoy面,曲面Σ：z = z(x,y)
∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x,y,z(x,y)]√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] dxdy
对于yoz面,曲面Σ：x = x(y,z)
∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x(y,z),y,z]√[1 + (∂x/∂y)² + (∂x/∂z)²] dydz
对于zox面,曲面Σ：y = y(x,z)
∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x,y(x,z),z]√[1 + (∂y/∂z)² + (∂y/∂x)²] dzdx
若积分域Σ关于zox面对称.
则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于x是奇函数
{2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于x是偶函数,Σ₁是第一挂限
若积分域Σ关于yoz面对称.
则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于y是奇函数
{2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于y是偶函数,Σ₁是第一挂限
若积分域Σ关于xoy面对称.
则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于z是奇函数
{2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于z是偶函数,Σ₁是第一挂限
若被积函数关于三个坐标面都对称：(轮换对称性)
有∫∫Σ x² dS = ∫∫Σ y² dS = ∫∫Σ z² dS = (1/3)∫∫Σ (x² + y² + z²) dS
第二类曲面积分的算法：
对于xoy面,曲面Σ：z = z(x,y)
∫∫Σ f(x,y,z) dxdy = ± ∫∫D f[x,y,z(x,y)] dxdy.上侧 + 下侧 -
对于yoz面,曲面Σ：x = x(y,z)
∫∫Σ f(x,y,z) dydz = ± ∫∫D f[x(y,z),y,z] dydz.前侧 + 后侧 -
对于zox面,曲面Σ：y = y(x,z)
∫∫Σ f(x,y,z) dzdx = ± ∫∫D f[x,y(x,z),z] dzdx.右侧 + 左侧 -
或者用三合一公式：
∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫D [ - P * ∂z/∂x - Q * ∂z/∂y + R ] dxdy.上侧 + 下侧 -
两类曲面积分之间的转换：
∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫Σ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) dS
高斯公式：若Σ是封闭曲面的外侧
∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫Ω ( ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z ) dxdydz
若积分域Ω内包含奇点时,则要加起挖掉奇点部分(取内测)的积分,然后再使用高斯公式：
即∫∫Σ + ∫∫Σ1 = ∫∫(Σ+Σ1) = ± ∫∫∫Ω
得∫∫Σ = ± ∫∫∫Ω - ∫∫Σ1
外侧取 + 内测取 -
而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要,而且是有"方向性"的,涉及向量范围了.
这两个比较复杂,概念又深了一层.