Question

设f（x）=sinx+sin（x+π6）-cos（x+4π3），x∈[0，2π]．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间，

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+
π
6
）-cos（x+
4π
3
）
=sinx+
3
2
sinx+
1
2
cosx+
1
2
cosx-
3
2
sinx
=sinx+cosx
=
2
sin(x+
π
4
)
∴函数f（x）的
最小正周期
：2π；
∵x∈[0，2π]．∴x+
π
4
∈[
π
4
，
9π
4
]．
当x+
π
4
∈[
π
4
，
π
2
]，即x∈[0，
π
4
]时，函数f（x）为
单调增函数
；
当x+
π
4
∈[
π
2
，
3π
2
]，即x∈[
π
4
，
5π
4
]时函数是
减函数
；
当x+
π
4
∈[
3π
2
，
9π
4
]，即x∈[
5π
4
，2π]时，函数f（x）为单调增函数；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，f（A）=
2
，∴
2
sin(A+
π
4
)＝
2
，
∴sin(A+
π
4
)＝1，∴A=
π
4
，
∵a=2，b=
6
，
由
a
sinA
＝
b
sinB
，∴sinB=
bsinA
a
=
3
2
，∴B=
π
3
，
∴C=π?
π
4
?
π
3
＝
5π
12
，
由
余弦定理
可知a2=c2+b2-2cbcosA，
可得c2-2
3
c+2=0，解得C=
3
?1或c＝
3
+1．
∵C-A=
5π
12
?
π
3
＝
π
12
＞0
∴c＞a，
故c＝
3
+1．