Question

已知a>0 b>0 a+b=1 。求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值

Answer 1

a>0，b>0，且a+b=1，
则依Cauchy不等式得
(a+1/a)²+(b+1/b)²
≥[(a+1/a)+(b+1/b)]²/(1+1)
=[(a+b)+(1²/a+1²/b)]²/2
≥[1+(1+1)²/(a+b)]²/2
=25/2.
显然以上两不等号取等时，
a=b=1/2.
故a=b=1/2时，
所求最小值为25/2。

Answer 2

考察式子(a+1/a)^2+(b+1/b)^2=(a^2+1+1/a^2)+(b^2+1+1/b^2)
对于单独的a^2+1+1/a^2，可以利用均值不等式得到
a^2+1+1/a^2 >= 3(1/3+a*1+a^2)/a^2 >= 3(1/3+a*2)^2/a^2
其中第一个不等式是由a^2+1+1/a^2=1+(a+1/a)^2>=1+2a和均值不等式得到的，第二个不等式是利用a+b=1，化简之后用二次函数的顶点公式得到的。
同理，对于b^2+1+1/b^2，有
b^2+1+1/b^2 >= 3(1/3+b*2)^2/b^2
将两个式子相加，得到
(a^2+1+1/a^2)+(b^2+1+1/b^2) >= 3(1/3+a*2)^2/a^2 +3(1/3+b*2)^2/b^2
由于a+b=1，所以a<=1,b<=1，代入上式得到
(a^2+1+1/a^2)+(b^2+1+1/b^2) >= 27/2
因此，(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值为27/2。当且仅当a=b=1/2时取到最小值。