已知;如图,在矩形ABCD中M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CN的中点。
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(1)证明:等腰梯形abcd中,∠a=∠d,∠abc=∠dcb,且ab=cd
又,m是ab的中点,所以am=md
所以,△abm≌△dcm,则bm=cm
又,e、n、f分别是边bm、bc、cm的中点,由中位线定理知:
en平行且等于cm=mc/2,nf平行且等于bm=bm/2
所以,边en=nf=fm=me。
故,四边形menf是菱形
(2)分别延长ba、cd交于点o
因为ab=cd,ad//bc,所以,∠oad=∠oda,则△oab是等腰三角形
就有oa=od,又ab=cd,所以ob=oc,所以△obc液是等腰三角形
连接om并延长om,则它与bc的交点必为n
因为m、n分别为ad、bc中点,而△oad和△obc都是等腰三角形,所以mn⊥bc
当四边形menf是正方形时,由于mn平分∠emf(这是菱形的性质)
所以∠nmc=45度,由前面mn⊥bc,所以△mnc为等腰直角三角形
所以,mn=nc=bc/2
即,等腰梯形abcd的高是底边bc的一半。
又,m是ab的中点,所以am=md
所以,△abm≌△dcm,则bm=cm
又,e、n、f分别是边bm、bc、cm的中点,由中位线定理知:
en平行且等于cm=mc/2,nf平行且等于bm=bm/2
所以,边en=nf=fm=me。
故,四边形menf是菱形
(2)分别延长ba、cd交于点o
因为ab=cd,ad//bc,所以,∠oad=∠oda,则△oab是等腰三角形
就有oa=od,又ab=cd,所以ob=oc,所以△obc液是等腰三角形
连接om并延长om,则它与bc的交点必为n
因为m、n分别为ad、bc中点,而△oad和△obc都是等腰三角形,所以mn⊥bc
当四边形menf是正方形时,由于mn平分∠emf(这是菱形的性质)
所以∠nmc=45度,由前面mn⊥bc,所以△mnc为等腰直角三角形
所以,mn=nc=bc/2
即,等腰梯形abcd的高是底边bc的一半。
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