Question

设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是r(A)=m

Answer 1

充分条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A，b)（否则为无解），其中，rank(A)表示A的秩，这也是必要条件。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数。

扩展资料

性质

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）

Answer 2

定理中有解的充分必要条件是r(A,b)=r(A)。因为r(A)=m=A的行数，而(A,b)只有m行，秩不可能大于m，所以r(A,b)=m=r(A)，从而方程组Ax=b有解。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 3

注:
由于非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是
r(a)=r(a,b)
所以只需证明:
r(a)
=
m
时,
必有
r(a)=r(a,b).
证明:
因为r(a)
=
m
所以
a
的行向量组的秩
=
m
而a是m×n矩阵
所以
a
的行向量组线性无关.
又由线性无关的向量组添加若干个分量仍线性无关
(这是定理)
所以
(a,b)
的行向量组线性无关
所以
(a,b)
的行向量组的秩
=
m
所以
r(a,b)
=
m
=
r(a).
故非齐次线性方程组ax=b有解
#
注:
r(a)