Question

比值收敛法判断级数是否收敛时遇到的问题

Answer 1

比值法得到的结果不是i，因为比值法是通过两项比值的绝对值（模）来进行判断的，而
lim
|(i^n/n)/(i^(n+1)/(n+1))|=1，所以比值法无法进行判断。下面就需要进行深入的判断了。
现在判断级数是否绝对收敛：σ|i^n/n|=σ(1/n)是调和级数，因此不是绝对收敛的。
接下来判断是否满足条件收敛。因为通过上面的判断我们得到了不满足绝对收敛的条件，因此不能随意交换求和顺序。但是即使顺序不能“随意”交换，但是按照级数原有的特点进行交换还是可以的。对于这个级数，它的奇数项都是纯虚数，偶数项都是实数，而一个复数级数收敛的充要条件就是实部和虚部同时收敛，因此可以把奇数项和偶数项分离，判断两者是否同时收敛：

容易看出上图最后一行的两个级数都是条件收敛的，所以原级数条件收敛。

Answer 2

此种情况下无法用比值判别法，需要用其他的判别法则。
可能有的高数书上会介绍Raabe判别法：
un/u(n+1)=1+r/n+小o(1/n)，
当r>1时级数收敛，当r<1时级数发散，
当r＝1时判别法失效，又得用更高级的判别法。
首先，这些判别法针对的都是正项级数，不是正项级数，
也就是一般项级数需要用别的判别法。比如
求和（n=1到无穷）(－1)^n/n，需要用Leibniz判别法。
其次，如果你仔细看书上根式判别法和比值判别法
的证明过程会发现，他们都是与q^n这个几何级数做比较，
因此当极限是1时就无法判别了。当极限是1时，就要与
p级数1/n^p做比较了。如果你是数学系的，数分书上都有
这个判别法的介绍和例子。如果你不是数学系的，
不建议你记Raabe判别法，你只要知道这时给你的级数
要与1/n^p做比较就行了，然后你自己取找合适的p，
比如级数1－cos1/n，当n趋于无穷时，发现通项
与1/n^2等价，因此收敛；级数ln(1+1/n)与1/n等价，
因此发散。记住，就是与p级数1/n^p做比较。