Question

如何证明平均不等式？即求证：a1+a2+…+an>=n*sqrt(n,a1*a2*…*an)

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

第一种方法：类推得证，楼上海贼王正解，也就是琴生不等式．．
　　
一个题目不光要知道怎么做，更重要的是举一反三，并不一定非要用琴生不等式
第二种方法：对于n个正数的情形的证明,证法很多.如可以仿照上面的证法,并利用数学归纳法来证明.
这种数学归纳法比较特殊，叫做反向归纳法，建议楼主做一下
　
自己动手做比别人说10遍你听还要有用得多．
希望能帮到楼主，祝您愉快！

Answer 3

n=3:证明略
先证n=4:
a1+a2+a3+a4=[(a1+a2)+(a3+a4)>=2sqrt(a1a2)+2sqrt(a3a4)
=2[sqrt(a1a2)+sqrt(a3a4)]>=4sqrt[sqrt(a1a2)sqrt(a3a4)]
=4sqrt(4,a1a2a3a4),
即
a1+a2+a3+a4>=4sqrt(4,a1a2a3a4)
(1)
再证n=3:
因为不等式(1)对于任意四个正数成立,所以对于四个正数a1,a2,a3,(a1+a2+a3)/3也成立(其中a1,a2,a3是任意三个正数),于是由(1)得
a1+a2+a3+(a1+a2+a3)/3>=4sqrt(4,a1a2a3(a1+a2+a3)/3)
即
(a1+a2+a3)/3>=sqrt(4,a1a2a3(a1+a2+a3)/3)
两边四次方,得
[(a1+a2+a3)/3]^4>=a1a2a3(a1+a2+a3)/3
即
[(a1+a2+a3)/3]^3>=a1a2a3
两边开立方,得
(a1+a2+a3)/3>=sqrt(3,a1a2a3)