Question

证明lim(x趋向x0)f(x)=0当且仅当lim(x趋向x0)|f(x)|=0

Answer 1

当x趋向于0时
,lim
f(x)/x=1
由洛必达法则,对分子分母同时求导,
得到
当x趋向于0时
,lim
f(x)/x=1=f
'(x)
/1
所以f
'(0)=1,
令F(x)=f(x)
-x
显然F(0)=0
得到F'(x)=f
'(x)
-1
所以F'(0)=f
'(0)
-1=0,
而f
''(x)>0,即f
'(x)单调递增,
又f
'(0)=1,
所以x>0时,f
'(x)>0,
即F'(x)=f
'(x)
-1>0,
所以F(x)在大于0时单调递增
x<0时,f
'(x)<0,
即F'(x)=f
'(x)
-1<0,
所以F(x)在小于0时单调递减
即x=0时,F(x)=f(x)
-x取最小值
而F(0)=0,
所以F(x)恒大于等于0,
即f(x)>=x

Answer 2

利用导数的定义
f'(x0)=lim
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
....极限过程为x→x0
于是lim[
f(x0-x)-f(x0)]/x...................令t=x0-x，当x→0时有t→x0
=lim
[f(t)-f(x0)]/[x0-t]
=-lim
[f(t)-f(x0)]/[t-x0].....极限过程为t→x0
=-f'(x0)