Question

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

易知
f(0)=0
f'(x)=e^x-1-2ax
f'(0)=0
f''(x)=e^x-2a
f''(0)=1-2a
当a<=1/2时
对任意的x>=0
f''(x)=e^x-2a>=1-1=0
所以f'(x)在定义域内为增函数
f'(x)>=f'(0)=0
所以f(x)为增函数，f(x)>=f(0)=0
为证明的严谨性，下面证明a>1/2时存在x,使得f(x)小于0
当a>1/2时
存在0<x0<ln2a,f''(x0)<0
所以f‘(x)在[0,x0]为减函数，所以对任意的x∈[0,x0],f'(x)<f'(0)=0
所以f(x)在[0,x0]为减函数，存在x∈[0,x0],f(x)<f(0)=0
故对a>1/2时原命题不成立。
所以a<=1/2

Answer 3

易知
f(0)=0
f'(x)=e^x-1-2ax
f'(0)=0
f''(x)=e^x-2a
f''(0)=1-2a
当a<=1/2时
对任意的x>=0
f''(x)=e^x-2a>=1-1=0
所以f'(x)在定义域内为增函数
f'(x)>=f'(0)=0
所以f(x)为增函数，f(x)>=f(0)=0
为证明的严谨性，下面证明a>1/2
时存在x,使得f(x)小于0
当a>1/2时
存在0<x0<ln2a
,f''(x0)<0
所以f‘(x)在[0,x0]为减函数，所以
对任意的x∈[0,x0],f'(x)<f'(0)=0
所以f(x)在[0,x0]为减函数，
存在x∈[0,x0],f(x)<f(0)=0
故对a>1/2时原命题不成立。
所以a<=1/2

Answer 4

f(x)=x(e^x-1)-ax2
所以
f’(x)=
e^x(x
1)-2ax-1
而f(0)=0
要使
f(x)>=在x>=0上恒成立
则
f’(x)>=0要恒成立
即
e^x(x
1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<=
(e^x(x
1)-1）/(2x)，设t(x)=
(e^x(x
1)-1）/(2x)，则t’(x)=
e^x*x^2
e^x*x-
e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)=
e^x(x
1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)=
e^x*x
e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
所以a<=
e^x(x
1)/2
令p(x)=
e^x(x
1)/2
则p’(x)=(e^x*x
e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2
哥们也不知道对不对。这题计算量比较大，要二次求导。我省了一些步骤。有问题可以交流。

Answer 5

f(x)=x(e^x-1)-ax2
所以
f’(x)=
e^x(x
1)-2ax-1
而f(0)=0
要使
f(x)>=在x>=0上恒成立
则
f’(x)>=0要恒成立
即
e^x(x
1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<=
(e^x(x
1)-1）/(2x)，设t(x)=
(e^x(x
1)-1）/(2x)，则t’(x)=
e^x*x^2
e^x*x-
e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)=
e^x(x
1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)=
e^x*x
e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
所以a<=
e^x(x
1)/2
令p(x)=
e^x(x
1)/2
则p’(x)=(e^x*x
e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2
哥们也不知道对不对。这题计算量比较大，要二次求导。我省了一些步骤。有问题可以交流。