Question

累次积分∫dy∫f(x^2+y^2)dx(R>0)化为极坐标形式的累次积分为

Answer 1

积分区域为圆：x^2+y^2=2Ry在第1象限的部分
化为极坐标形式为：
∫dy∫f(x^2+y^2)dx
=∫(0,
π/2)dθ∫(0,2Rsinθ)rf(r^2)dr

Answer 2

先把图形画出来，d由直线y＝x与第一象限的圆周y＝√2rx-x^2围成，面积小的那一部分。
接下来把直线与圆的方程转化为极坐标方程，分别是θ＝π/4，ρ＝2rcosθ。
考虑θ与ρ的范围：d夹在射线θ＝π/4与θ＝π/2之间，θ的积分限是π/4到π/2。原点在d的边界上，所以ρ的积分下限是0，从原点作射线，与d的边界的交点在圆上，所以ρ的积分上限是2rcosθ。
再有面积元素dxdy＝ρdρdθ，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ。剩下的就是照本宣科的写出累次积分了