Question

高等数学 为什么比值法判定级数不绝对收敛,则级数就发散

Answer 1

此种情况下无法用比值判别法，需要用其他的判别法则。
可能有的高数书上会介绍raabe判别法：
un/u(n+1)=1+r/n+小o(1/n)，
当r>1时级数收敛，当r<1时级数发散，
当r＝1时判别法失效，又得用更高级的判别法。
首先，这些判别法针对的都是正项级数，不是正项级数，
也就是一般项级数需要用别的判别法。比如
求和（n=1到无穷）(－1)^n/n，需要用leibniz判别法。
其次，如果你仔细看书上根式判别法和比值判别法
的证明过程会发现，他们都是与q^n这个几何级数做比较，
因此当极限是1时就无法判别了。当极限是1时，就要与
p级数1/n^p做比较了。如果你是数学系的，数分书上都有
这个判别法的介绍和例子。如果你不是数学系的，
不建议你记raabe判别法，你只要知道这时给你的级数
要与1/n^p做比较就行了，然后你自己取找合适的p，
比如级数1－cos1/n，当n趋于无穷时，发现通项
与1/n^2等价，因此收敛；级数ln(1+1/n)与1/n等价，
因此发散。记住，就是与p级数1/n^p做比较。