Question

已知x、y、z都是实数,且满足条件已知xyz为实数，且满足x+2y-z=6,x-y+2z=3,则x^2+y^2+z^2的最小值为

Answer 1

设x^2+y^2+z^2=t
由3x+2y+2z=17得：y+z=(17-3x)/2
又y^2+z^2=t-x^2可变得：yz=（17-3x)^2/8+(x^2-t)/2
y,z可以看成m^2-[(17-3x)/2]+（17-3x)^2/8+(x^2-t)/2=0的两根
于是由判别式>=0列式得：(17-3x)^2/4-4[（17-3x)^2/8+(x^2-t)/2]>=0
化简得：t>={17(x-3)^2+136}/8
当x=3时，t取得最小值t=136/8=17即是x^2+y^2+z^2的最小值是(17)或用
柯西不等式：（9+4+4）（x²＋y²＋z²）≥（3x+2y+3z)²，又3x＋2y＋2z＝17，
所以x²＋y²＋z²）≥17

Answer 2

x+2y-z=6
所以
2x+4y-2z=12
因为
x-y+2z=3
两边相加
3x+3y=15
x+y=5
带回去
得到
y=5-x
z=4-x
带回
x^2+y^2+z^2
=
3x^2
-
18x
+41
=
3(x^2-
6x
+9)+14
=
3(
x
-
3)^2
+14
当
x=3
最小
为
14
所以x^2+y^2+z^2的最小值为
14