Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,Sn=n(an+1)/2

Answer 1

1）Sn-(Sn-1)=[n(an+1)-(n-1)an]/2=an
整理得到n/(n+1)=an/(an+1)
利用迭乘法得到n≥2时，an=n
因为a1=s1=1*a2/2=1，所以a1也符合an=n
所以数列an的通项公式为an=n
而an+1-an=1，所以｛an+1
-
an｝是一个an=1的常数列，也就是公差为0的等差数列
2）bn=1/(2n+1)(2n-1)
因为1/(2n-1)-1/(2n+1)=2/(2n+1)(2n-1)
所以bn=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
Tn=b1+b2+b3+...+bn
=[1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
=[1-1/(2n+1)]/2
=n/(2n+1)
=1/(2+1/n)
因为Tn>k/57对一切n∈正自然数都成立，所以k/57应小于Tn的最小值
因为Tn=1/(2+1/n)，所以当n=1时Tn最小，此时Tn=1/3
所以1/3>k/57，即k<19
因为k为正整数，所以k≤18，即最大正整数k的值为18