Question

∑的方程为|x|+|y|+|z|=1,求曲面积分 |xyz|ds=

我这个题和别人问的曲面积分是不一样的，别复制其他的问题下的回答

Answer 1

因为∑关于xoy平面、yoz平面和zox平面都对称，且被积函数|xyz|关于x,y,z都是偶函数

所以根据曲面积分的对称性
∫∫(∑) |xyz|ds=8∫∫(∑') |xyz|ds，其中∑'为∑在第一卦限的部分
=8∫∫(D) |xy(1-x-y)|*√3dxdy，其中D为∑'在xoy平面上的投影
=8√3*∫∫(D) xy(1-x-y)dxdy
=8√3*∫(0,1)dx∫(0,1-x) xy(1-x-y)dy
=8√3*∫(0,1)xdx*∫(0,1-x) (y-xy-y^2)dy
=8√3*∫(0,1)xdx*(y^2/2-xy^2/2-y^3/3)|(0,1-x)
=8√3*∫(0,1) x[(1-x)^3/2-(1-x)^3/3]dx
=(4√3/3)*∫(0,1) x(1-3x+3x^2-x^3)dx
=(4√3/3)*∫(0,1) (x-3x^2+3x^3-x^4)dx
=(4√3/3)*(x^2/2-x^3+3x^4/4-x^5/5)|(0,1)
=(4√3/3)*(1/2-1+3/4-1/5)
=√3/15

Answer 2