Question

为什么如果C是可逆矩阵，那么C的转置乘以C 就是实对称矩阵？

Answer 1

同学你好，这个问题解答如下：
首先，若C是实方阵，则C‘C必是实对称矩阵（这里'表示转置），这与C是否可逆无关。为了证明C‘C是对称矩阵，只要证明(C‘C)'=C‘C。事实上，(C‘C)'=C‘(C')'（矩阵转置穿脱律）=C‘C。得证
其次，若C是可逆矩阵，则可以证明C‘C是对称正定矩阵。证明如下（利用正定矩阵定义）：
任取x(向量)不为0(向量)，都有
x'(C‘C)x=(Cx)‘Cx
注意到x不为0且C可逆，因此Cx（向量）不为0（若Cx=0，又C可逆，因此x=0，这与x不为0矛盾），令y=Cx（不为0的实向量）=(y1,y2,....yn)'，则(Cx)'Cx=y1^2+...+yn^2>0(这是由于y不全为0且为实数)。从而C'C正定。