Question

在如图所示的几何体中，EA垂直平面ABC，DB垂直面ABC，AC垂直BC且AC=BC=BD=2AE.M是AB的中点.求证：CM垂直EM

Answer 1

在如图所示的几何体中，ea⊥平面abc，db⊥平面abc,ac⊥bc,且ac=bc=bd=2ae,m是ab的中点
（2）求cm与平面【cde】所成的角
解：以c为原点
向量ca为x轴
向量cb为y轴
向量bd为z轴
建立空间直角坐标系☜
设ac=bc=bd=2ae=2a
则由图知
e:(2a,0,a)
d:(0,2a,2a)
c:(0,0,0)
m:(a,a,0)
所以de=(2a,-2a,-a)
cd=(0,2a,2a)
ce=(2a,0,a)
cm=(a,a,0)
设α=(x,y,z)平面【cde】
即①2ax-2ay-az=0
②2ay+2az=0
③2ax+az=0
令α=h(-1,-2,2)
cosθ=α×cm÷｜α｜÷｜cm
π/2-θ即是所要求的角
（只要求角的，建立空间直角坐标系就能求）
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Answer 2

①∵AE⊥面ABC,BD⊥面ABC,得出AE‖DB,且面AEDB⊥面ABC
又∵AC⊥BC且AC=BC，得出三角形ABC是
等腰直角三角形
，直角为∠ACB,
∵M是AB的中点，则CM⊥AB
又∵面AEDB⊥面ABC
∴CM⊥面AEDB上所有的直线
即CM⊥EM
②
∵CM⊥面AEDB
得CM⊥DM
∵M为AB中点，设AC=BC=BD=2AE=2a，得出EM=√3a、MD=√6a、ED=3a
即ED²=EM²+MD²
即三角形EMD为直角三角形
即EM⊥MD
又∵CM⊥DM,得出DM⊥面EMC,则DE与平面EMC所成的角为∠DEM,
∴tan∠DEM=DM/EM=√2