Question

设f（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=0证明 存在c∈（a，b）f‘（c）+f^2（c）=0

Answer 1

令
F（x）=f（x）+（f（x））^3/3
F（a）=f（a）+（f（a））^3/3=0
F（b）=f（b）+（f（b））^3/3=0
因为f（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内可导
所以F（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内可导
所以根据罗尔定理有
F‘（c）=0成立，c∈（a，b）

Answer 2

令f(x)=e^x
*
f(x)
则f(a)=f(b)=0
由中值定理有
存在c∈(a,b),f'(c)=
e^cf(c)+e^cf'(c)=
e^c(f'(c)+f(c))=0
即f‘（c）+f（c）=0