Question

证明：arctan(n+1)-arctan(n)=arctan{1/[1+n(n+1)]}

Answer 1

∫[n,n+1]1/（1+x^2)dx
=arctanx[n,n+1]
=arctan(n+1)-arctan(n)
你的积分过程没错。
对于arctan(n+1)-arctan(n)=arctan{1/[1+n(n+1)]}，假设正确
两边求正切得
tan[arctan(n+1)-arctan(n)]=tanarctan{1/[1+n(n+1)]}
即[tanarctan(n+1)-tanarctan(n)]/[1+tanarctan(n+1)*tanarctan(n)]=tanarctan{1/[1+n(n+1)]}
1/[1+(n+1)n)]=1/[1+n(n+1)]
这个是成立的，你证明的没有错。

Answer 2

首先对于前n求和为arctan(n+1)-arctan1=arctan(n+1)-π/4
但若是无穷项求和
这应该对上式取极限
则acttan(n+1)=π/2
当n趋向正无穷
所以原和式=π/4