Question

怎样求微分方程的一般解，求公式

Answer 1

这是我以前写的“低阶微分方程的一般解法”
一。g(y)dy=f(x)dx形式
可分离变量的微分方程，直接分离然后积分
二。可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程
换元，分离变量
三。一阶线性微分方程
dy/dx+P(x)y=Q(x)
先求其对应的一阶齐次方程，然后用常数变易法带换u(x)
得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}
四。伯努利方程dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n
两边同除y^n引进z=y^(n-1)配为线形一阶非齐次方程
然后代如通解，最后代入z=y^(n-1)
五。全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
有解的充要条件为ap/ay=aQ/ax
此时通解为u(x,y)=∫(xo,x)P(x,y)dx+∫(yo,y)Q(x,y)dy=C
有的方程可通过乘积分因子得到全微分方程的形式。

Answer 2

(1)dy/(1-y²)=tanxdx
两边积分,1/2*ln|(y+1)/(y-1)|=ln|secx|+c1
(y+1)/(y-1)=csec²x
(2)对应的齐次方程为dy/dx=-2tanx*y
dy/y=-2tanxdx
ln|y|=2ln|cosx|+c1
y=ccos²x
把c换成u=u(x),则y'=u'cos²x+u*2cosx*(-sinx)
代入原方程得u'cos²x-2usinxcosx+2ucos²xtanx=sinx
u'=sinx/cos²x
u=1/cosx+c
∴y=cosx+ccos²x