Question

什么是矩阵可逆

Answer 1

证明矩阵可逆的方法如下

1、矩阵的秩小于n，那么这个矩阵不可逆，反之可逆；

2、矩阵行列式的值为0，那么这个矩阵不可逆，反之可逆；

3、对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；

4、对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。

一、逆矩阵

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

注：E为单位矩阵。

二、定义

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E.

并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

三、性质

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

4、证明

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。

2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

4、矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

5、由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O

而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O

2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。

得B-C=O，即B=C。

Answer 2

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

中文名
可逆矩阵
外文名
invertible matrix
别称
非奇异矩阵
快速
导航
性质

常用方法
定义
设是数域，，若存在，使得，为单位阵，则称为可逆阵，为的逆矩阵，记为。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵。[1]
性质
（1）若为可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的。
（2）设、是数域上的阶矩阵，。
①若可逆，则和也可逆，且，；
②若可逆，则可逆 ，且；
③、均可逆 。[1]
常用方法
（1）判断或证明可逆的常用方法：
①证明；
②找一个同阶矩阵，验证；
③证明的行向量（或列向量）线性无关。
（2）求的方法：
①公式法：，其中为矩阵的伴随矩阵。
②初等变换法：对作初等变换，将化为单位阵，单位矩阵就化为。

Answer 3

在线性代数中，给定一个
n
阶方阵A，若存在一n
阶方阵B
使得AB=BA=In（或AB=In、BA=In
任满足一个），其中In
为n
阶单位矩阵，则称A
是可逆的，且B
是A
的逆阵，记作
A^(-1)。
若方阵A
的逆阵存在，则称A
为非奇异方阵或可逆方阵。

Answer 4

答案是a，至少有一个不可逆。
b选项，如 a
、b均可逆，则ab可逆；
c选项，a
、b可以都不可逆，那么ab也不可逆；
d选项， a
、b中有一个不可逆即可保证ab不可逆。

Answer 5