Question

高三数学，关于导数实际应用的

如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余空地ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数y=2/9x(1/3小于等于x小于等于2/3）的图像，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分。记点P到边AD的距离为t，f(t)表示该地块在直路l左下部分的面积。（1）求F(t)的表达式；（2）求面积S=f(t)的最大值

Answer 1

y'=-2/9x*x
y0=2/9t;x0=t
带入y-y0=f'(x0)(x-x0)
有
y=4/9t-2x/9t*t
求截距：x=0时，y=4/9t
讨论t的取值范围，y有三种情况：与y轴交点大于4t-2/9t*t小于1，与y轴交点大于1，与y轴交点小于4t-2/9t*t
对应的三个积分f(t)=∫ydx/2t,0
分别为：
三角形：f(t)=4/9；直角梯形：f(t)=4t-1/9t*t；直角梯形：f(t)=2t-9/4t*t
其中最大值为4/9
p.s.很无聊的一道高中题，最后积分还得考虑t的变化范围对表达式的影响。大学是不会这么玩的。