Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时，f（x）...

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x）； （1）求当-1≤x≤0时，f（x）的解析式． （2）求f（x）在[-1，1]上的单调区间和最大值．

Answer 1

解（1）令x∈[-1，0]，则x+1∈[0，1]…（1分）
由已知，得f(x)=12f(x+1)=12(x+1)[1-(x+1)]=-12x(x+1)（-1≤x≤0）．…（4分）
（2）由（1）知，当0≤x≤1时，f(x)=-(x-12)2+14，…（5分）
则f（x）在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减；…（6分）
当-1≤x≤0时，f(x)=-12(x+12)2+18，…（7分）
则f（x）在[-1，-12]上单调递增，在[-12，0]上单调递减；…（8分）
故f（x）在[-1，1]上的单调递增区间为[-1，-12]和[0，12]，
单调递减区间为[-12，0]和[12，1]；…（9分）
由f（x）在[-1，1]上的单调性知，f（x）在[-1，1]上的最大值为max{f(-12)，f(12)}；…（11分）
又f(-12)=18，f(12)=14，因此，f（x）在[-1，1]上的最大值为14．…（13分）