Question

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈D都有|f（x1）-f...

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈D都有|f（x1）-f（x2）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x3-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

解：因为|f（x1）-f（x2）|＜|fmax-fmin|，
函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]导数是f′（x）=3x2-1
当3x2-1=0时，即x=±33，当0＜x＜33时，f′（x）=3x2-1＜0，当x＞33时，
f′（x）=3x2-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]内的极小值是a-239，同理，
f（x）在[-1，0]内的极大值是a+239，因为f（1）=f（-1）=a，
所以函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+239，最小值是a-239，
故|f（x1）-f（x2）|＜|fmax-fmin|=439＜1
所以函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“妈祖函数”．（2分）