Question

已知在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N．（1）证明：...

已知在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N． （1）证明：数列{an-n}是等比数列； （2）求数列{an}的通项式及其前n项和Sn．

Answer 1

（1）证明：∵在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，
∴an+1-（n+1）=4（an-n），
∴
an+1-(n+1)
an-n
=4，
∴数列{an-n}是等比数列．
（2）解：∵a1=2，a1-1=1，
an+1-(n+1)
an-n
=4，
∴an-n=1×4n-1，
∴an=n+4n-1．
∴Sn=
n(n+1)
2
+
1-4n
1-4
=
n(n+1)
2
+
4n-1
3
．