Question

设函数,.求的单调区间;若对所有的,都有成立,求的取值范围.

设函数,. 求的单调区间; 若对所有的,都有成立,求的取值范围.

Answer 1

先求出函数的定义域,求出导函数'.因为,要判断'的正负就要研究的符号,讨论的正负即可得到的正负即可得到'的正负,即可得到函数的单调区间.由解出,设,所以求出,讨论的增减性得到的最小值,让小于等于最小值即可得到的范围.
解:函数的定义域为.',记函数,其判别式.当,,即时,恒成立,'在恒成立,在区间上递增.当,即时,方程有两个不等的实根,.若,则,',在区间上递减;若或,则,',在区间和上递增.综上可知:当时,的递增区间为;当时,的递增区间为和,递减区间为.,,令,,则,当时,,函数在上是增函数,,,的最小值为,.
考查学生会分区间讨论导函数的正负得到函数的增减性,会利用导数求闭区间上函数的最值.学生做题时应掌握不等式恒成立是所取的条件.