Question

为什么当长方形、正方形、圆的周长相等时，圆的面积最大

为什么为什么为什么为什么为什么啊

Answer 1

证明：
1）首先，证明周长一定时，正方形面积比非正方形（一般长方形）面积大。
假设，长方形长边为x，短边为y，周长为L
那么，有：x+y=L/2
即，x=L/2-y
长方形面积为：
S=x*y
=(L/2-y)*y
=(L/2)*y-y^2
=(L/2)*y-y^2-L^2/16+L^2/16
=[(L/2)*y-y^2-L^2/16]+L^2/16
=(L/4-y)^2+L^2/16
可以看出，只有当y=L/4时，S有最大值：L^2/16
此时，x=L/2-y=L/4=y
也就是说，只有当长方形边长相等时（此时长方形退化为正方形），面积最大。
2）其次，证明周长一定时，圆的面积比正方形的面积大。
假设，正方形边长为x，圆的半径为R，他们的周长为L
对于正方形，边长x=L/4，面积为：S1=x*x=(L/4)*(L/4)=L^2/16
对于圆形，半径R=L/(2*Pi)，面积为：S2=Pi*R^2=Pi*[L/(2*Pi)]^2=L^2/(4*Pi)
因为，Pi=3.14，4*Pi=12.56<16
所以，S1<S2
也就是：周长一定时，圆的面积比正方形的面积大。
综上，周长一定时，长方形、正方形和圆形中圆形的面积最大。
证毕。