Question

已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆

已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆 证明：假设E-BA不可逆,则（E-BA）x=0有一个非零解α,即（E-BA）α=0.乘开来得到 α-BAα=0,即BAα=α 对于（E-AB）x=0,有（E-AB）Aα=Aα-AB Aα=Aα- Aα（因为BAα=α）=0 就是说,Aα这个非零向量是... 已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆 证明：假设E-BA不可逆,则（E-BA）x=0有一个非零解α,即（E-BA）α=0.乘开来得到 α-BAα=0,即BAα=α 对于（E-AB）x=0,有（E-AB）Aα=Aα-AB Aα=Aα- Aα（因为BAα=α）=0 就是说,Aα这个非零向量是（E-AB）x=0的解,因为（E-AB）x=0只有0解,矛盾. 证毕 为什么Aα是个非零向量？即使A≠0，α≠0，Aα也可能等于零向量啊？ 展开

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

你好！你说的对，α≠0不能得出Aα≠0，这个证法不对。下图是正确的做法，结论也更一般。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
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