Question

(2013•上海)已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0(1)若y=...

(2013•上海)已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω＞0 (1)若y=f(x)在[-π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围; (2)令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R，且a＜b)满足:y=g(x)在[a，b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值.

Answer 1

解答:解:(1)∵函数y=f(x)在[-
π
4
，
2π
3
]上单调递增，且ω＞0，
∴
π
2ω
≥
2π
3
，且-
π
2ω
≤-
π
4
，
解得0＜ω≤
3
4
.
(2)f(x)=2sin2x，∴把y=f(x)的图象向左平移
π
6
个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2(x+
π
6
)+1，
∴函数y=g(x)=2sin2(x+
π
6
)+1，
令g(x)=0，得x=kπ+
5π
12
，或x=kπ+
3π
4
(k∈Z).
∴相邻两个零点之间的距离为
π
3
或
2π
3
.
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a](m∈N*)分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间(14π+a，b]至少有一个零点，
∴b-a-14π≥
π
3
.
另一方面，在区间[
5π
12
，14π+
π
3
+
5π
12
]恰有30个零点，
因此b-a的最小值为14π+
π
3
=
43π
3
.