Question

设f(x) 在[a,b] 上连续，且f(x)>0。求证:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^2。

设f(x) 在[a,b] 上连续，且f(x)>0。求证:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^2。

Answer 1

证明
因为f(x)>0，所以√f(x)>0，1/√f(x)>0。
因而∫(a,b)[t*√f(x)+1/√f(x)]^2dx≥0，t为任意实数，
即∫(a,b)t^2*f(x)dx+2t∫(a,b)dx+∫(a,b)[dx/f(x)]≥0.
设A=∫(a,b)f(x)dx，B=∫(a,b)dx，C=∫(a,b)[dx/f(x)]
则上式为:At^2+2Bt+C≥0，
这是关于t的二次三项式，且不小于零，故由判别式得:
A*C-B^2≥0，即
∫(a,b)f(x)dx*∫(a,b)[dx/f(x)]≥[∫(a,b)dx]^2=(a-b)^2。