Question

(2013•成都一模)在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a2n...

(2013•成都一模)在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a 2n=an-1an+1，n∈N*. (I)求数列{an}的通项公式an (II)若bn=(2n-1)an，求数列{bn}的前n项和Sn (III)是否存在正整数对(m，n)，使等式 2n-man+4m=0成立?若存在，求出所有符合条件的(m，n);若不存在，请说明理由.

Answer 1

解答:解:(I)由已知可得，数列{an}是等比数列
∵a1=2，a2=4
∴q=
a2
a1
=2
∴an=a1qn-1=2n
(II)∵bn=(2n-1)an=(2n-1)•2n
∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n
2Sn=1•22+3•23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1
两式相减可得，-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1
=2-
8(1-2n)
1-2
-(2n-1)•2n+1
=-6+2n-2-n•2n+2+2n+1
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6
(III)假设存在正整数对(m，n)，使得等式an2-man+4m=0
∵an=2n
∴22n=m(2n-4)成立
∵m∈N*∴2n＞4
∴m=
22n
2n-4
=
22n-16+16
2n-4
=2n-4+
16
2n-4
+8≥16
当且仅当2n-4=4即n=3时取等号
∵2n＞4
∴
16
2n-4
∈N*
∴2n-4=1或2或8或16，此时均无解
故符合题意的正整数对只有(16，3)