Question

在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F(1，0)的距离与到定直线l:x=-1的距...

在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F(1，0)的距离与到定直线l:x=-1的距离相等，记P的轨迹为Γ.又过点(1，0)并且斜率为2的直线AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长.

Answer 1

解答:解:∵动点P到定点F(1，0)的距离与到定直线l:x=-1的距离相等，
∴由抛物线的定义，可得动点P的轨迹Γ是抛物线，
设其方程为y2=2px，由
p
2
=1得2p=4，
∴抛物线的方程为y2=4x，即为曲线Γ的方程.
过点(1，0)并且斜率为2的直线AB方程为y=2(x-1)，即y=2x-2.
设直线l与曲线Γ的交点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，
y=2(x-1)代入y2=4x，整理得x2-3x+1=0，可得x1+x2=3.
∴根据抛物线的定义，可得|AB|=x1+x2+p=2+x1+x2=5.