Question

大学生数学竞赛题目第四题怎么做？

图一题目，图二答案，答案中“由此可得f(t)”？？？f(t)怎么解的呐？
ps如果直接用求根公式求f(t) ，常数项t×e^2t和f（t）也有关系啊，为什么求出来结果正确？
简言之ax^2+bx+c 如果a或b或c与x有关，可以使用求根公式求解x吗



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Answer 1

4题解：[f（lnx）]^2-2xf（lnx）+x^2lnx=0设lnx=t，则x=e^t，x>0∴[f（t）]^2-2×e^t×f（t）+e^（2t）×t=0{[f（t）]^2-2×f（t）×e^t+（e^t）^2}-（e^t）^2+e^（2t）×t=0[f（t）-e^t]^2=e^（2t）×（1-t）1-t≥0，即t≤1有意义f（t）-e^t=±e^t√（1-t）f（t）=e^t±e^t√（1-t）f（t）=e^t[1+√（1-t）或f（t）=e^t[1-√（1-t）∵f（0）=0∴f（t）=e^t[1+√（1-t）]舍去∴f（t）=e^t[1-√（1-t）]∴f（x）=e^x[1-√（1-x）]，x≤1

追问

答案上直接用求根公式求f(t) 但是，常数项t×e^2t和f（t）也有关系啊

追答

我这样做更容易理解，而且能把增根舍去

Answer 2

写的有点修改过多。希望见谅哈

因为他说的那句f(0)＝0

上一步推导出的f（t）有两种情况嘛，所以分别带入，符合条件的那个就是啦

追问

和我思路一样，答案上直接用求根公式求f(t) 但是，常数项t×e^2t和f（t）也有关系啊

追答

不好意思我是个高中生，看不懂txe^2t是什么意思😂

Answer 3

就是把那个方程看成以f（t）为未知数的一元二次方程。

Answer 4

供参考，请笑纳。

追问

和我思路一样，答案上直接用求根公式求f(t) 但是，常数项t×e^2t和f（t）也有关系啊

追答

哦

追问

ax^2+bx+c 如果a或b或c与x有关系使用求根公式正确吗

追答

数学竞赛运算基本技能啊！

Answer 5

令t=lnx，则x=e^t
代入可得
f²(t)－2e^t f(t)＋te^(2t)=0
f(t)=[2e^t±∨(4e^(2t)－4te^(2t))]/2
=e^t±∨[(1－t)e^(2t)]
=e^t [1±∨(1－t)]
由于f(0)=0
所以f(t)=[1－∨(1－t)]e^t (t≤1)
即f(x)=[1－∨(1－x)]e^x (x≤1)