Question

一阶线性微分方程问题,求高手帮忙。

请问有没有人可以帮我解一下这道题? dv/dt+0.1v=10-10e^(-0.1t） v(0)=0 如果可以的话麻烦请把解答的步骤也一同写下来，非常感谢!

Answer 1

求特解：dv/dt+0.1v=10-10e^(-0.1t)
v(0)=0
解：先求一阶线性齐次方程dv/dt+0.1v=0的通解。
分离变量得dv/v=-0,1dt，积分之，得lnv=-0.1t+lnC₁，故v=e^(-0.1t+lnC₁)=C₁e^(-0.1t)；
将C₁换成t的函数u，则有v=ue^(-0.1t)..........(1)
将(1)的两边对t取导数得：
dv/dt=(du/dt)e^(-0.1t)+u[-0.1e^(-0.1t)]=(du/dt)e^(-0.1t)-0.1ue^(-0.1t)...........(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
(du/dt)e^(-0.1t)-0.1ue^(-0.1t)+0.1ue^(-0.1t）=10-10e^(-0.1t)
化简得(du/dt)e^(-0.1t)=10-10e^(-0.1t)
即有du/dt=10e^(0.1t)-10
故du=[10e^(0.1t)-10]dt=10[e^(0.1t)-1]dt
积分之得u=∫10[e^(0.1t)-1]dt=∫10[e^(0.1t)dt-∫10dt=100∫e^(0.1t)d(0.1t)-10t=100e^(0.1t)-10t+C
代入(1)式即得通解：v=[100e^(0.1t)-10t+C]e^(-0.1t)；将初始条件v(0)=0代入得0=100+C，
故C=-100；于是得特解：v=[100e^(0.1t)-10t-100]e^(-0.1t)
即v=100-(10t+100)e^(-0.1t)为所求。

Answer 2

方程
dy/dx+p(x)y=q(x)

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
q(x)恒等于0
，则方程称为齐次的；
如果
q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。、
例如(1+x^2)dy=(x+y)dx
dy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)
dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)
p(x)=-1/（1+x^2)
q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0
所以是一阶线性非齐次方程