Question

一质量为m1、长为l的匀质细杆,一端与光滑铰链相连

在光滑地面上放置一质量为m,长为l的均匀细杆.此杆由相等的段构成,中间用光滑的铰链连接在起来（即两端在连接点可以弯折,但不可分离）.如果在杆的一端施以垂直于杆的水平冲量I,分别求该细杆两部分的质心平动速度,相对质心的角速度及该系统获得的总动能.

Answer 1

分析与解 本题的求解方向是通过质心的动量定理与刚体的角动量定理,求得杆的质心速度及绕质心的角速度,进而求出杆由于这两个速度所具有的动能．
如图8乙所示,设杆1在冲量I作用下,质心获得的速度为vC,杆的角速度为ω,由质心的动量定理,得
I＝mvC,
由刚体的角动量定理,得 I•l／2＝Jω＝（1／12）ml2ω．
则杆1的动能为 Ek1＝（1／2）mvc2＋（1／2）Jω2?
＝（1／2）m（I／m）2＋（1／2）J（Il／2J）2?
＝（I2／2m）＋（3I2／2m）＝2I2／m．
如图8丙所示为杆2的左、右两段受力情况,当在杆2左端作用冲量I时,在两段连接处,有一对相互作用的冲量I1与I1′,它们大小相等,方向相反．由于两段受力情况不同,各段的质心速度及角速度均不同,但在连接处,注意到“不分离”的条件,左段的右端与右段的左端具有相同的速度．现对两段分别运用动量定理和角动量定理,对杆2左段,有
I－I1＝（m／2）vC1,（I＋I1）•（l／4）＝（ml2／96）ω1,
对杆2右段,有
I1′＝（m／2）vC2,I1′•l／4＝（ml2／96）ω2．
由连接处“不分离”条件得左、右两段的速度与角速度的关系是
vC1－ω1•（l／4）＝ω2•（l／4）＋vC2,
由以上各式,可得
ω1＝18I／ml,ω2＝－6I／ml,vC1＝5I／2m,vC2＝I／2m,
于是可计算杆2的动能为
Ek2＝（1／2）•（m／2）（vC12＋vC22）＋（1／2）•（J／2）（ω12＋ω22）?
＝7I2／2m．
易得1、2两杆的动能之比为 E1∶E2＝4∶7．
本题求解中,抓住杆2左、右两段连接处速度相同的相关关系,全盘皆活．