Question

高等数学积分？

积分

Answer 1

如图所示氏锋差，望基州采歼皮纳

Answer 2

详细计算御禅过斗拆正程如下:
∫Dxydⅹdy
=∫[0，1]ydy∫[0，1]dⅹ
=(y^2/2)[0，1](ⅹ^2/2)[0，1]
=(1/2)ⅹ(1/2)
=1/4。空悔

Answer 3

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
中文名
积分
外文名
integral
基本原歼迟正理
微积分基本定理
提出者
艾萨克·牛顿
特点
发展的动力来自于实际应用中的
快速
导航
术语和标记

严格定义

性质

种类

相关知识
基本介绍
积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。
术语和标记
如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间[a,b]上的积分记作

其中的 除了表示x是f中要进行积分的那个变量（积分变量）之外，还可以表示不同的含义。在黎曼积分中， 表示分割区间的标记；在勒贝格积分中，表示一个测度；或仅仅表示一个独立的量（微分形式）。一般的区间或者积分范围J，J上的积分可以记作
如果变量不只一个，比如说在二重积分中，函数 在区域D上的积分记作 或者 其中 与区域D对应，是相应积分域中的微分元。[1]
严格定义
定义积分
方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。
黎曼积分
黎曼积分得名于德国数学家波恩哈德·黎曼，建立在函数在区间取样分割后的黎曼和之上。设有闭区间[a,b]，那么[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列 。每个闭区间 叫做一个子区间。定义 为这些子区间长度的最大值： ，其中 。而闭区间[a,b]上的一个取样分割是指在进行分割 后，于每一个子区间中 取出一点 。
对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割 的黎曼和定义为以下和式：

和式中的每一项是子区间长度 与在 处的函数值 的乘积。直观地说，就是以标记点 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。
图1
最简单的取样分割方法是将区间均匀地分成若干个长度相等的子区间，然后在每个子区间上按相同的准则取得标记点。例如取每个子区间右端 （氏悔见左图左上角）或者取每个子区间上函数的极大值对应的 （左图左下角）等等。不同的旦贺取样分割方式得到的黎曼和一般都不相同，而如果当 足够小的时候，所有的黎曼和都趋于某个极限，那么这个极限就叫做函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分。即，S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的 ，都存在 ，使得对于任意的取样分割 ，只要它的子区间长度最大值 ，就有：