Question

如何证明斜率确定的直线过椭圆中心时被椭圆所截的弦最长

Answer 1

证明：设椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^=1,为了便于计算,整理为:(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2...(1);
直线方程为
：y=kx+m.....(2);
与（1）联立，求解x和y。将（2)代入(1),得：
[b^2+(ka)^2]x^2+2kma^2x+m^2-(ab)^2=0;△=(2kma^2)^2-4[b^2+(ka)^2](m^2-(ab)^2)
=4{[(ka^2)^2-b^2-(ka)^2]m^2+[b^2+(ka)^2](ab)^2};
令：p=[(ka^2)^2-b^2-(ka)^2],r=[b^2+(ka)^2],
q=[b^2+(ka)^2](ab)^2;
△=4pm^2+q.......(3)
设直线与椭圆的交点分别为A（x1,y1),
B(x2,y2),
AB弦长为:L=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
由（2）得：y1-y2=kx1+m-kx2-m=k(x1-x2),
代入(4),得：L=√[（1+k）(x1-x2)^2]...(5);(
x1-x2)只与
√△/2r有关，(x1-x2)^2=2(√△/2r)^2=2*(3)/4r^2.代入(5),得:L=(2pm^2+2q)/r^2;
L‘=4pm/r^2=0,
因为p>0,
r^2>0,所以，当m=0shi,
L有极大值，也是其最大值。使（1）为：y=kx。因此，在y=kx+m
的直线族中，当m=0时，椭圆中的弦最长。证毕。