Question

排列组合问题？

14个相同的球，放入4个相同的盒子，每个盒子至少1球，至多6球。有多少种不同的方法？不可使用枚举法，请使用排列组合数并分步详细说明过程。

Answer 1

这道题我个人有两个思路
第一种思路是把放入的组合列出来，例如 ①6|6|1|1 ②6|5|2|1 ③6|4|2|2 .......但你又说不能枚举
于是我就想到第二种思路，可不可以假定4个盒子最初都是6|6|6|6，然后取出10个球就好，相当于将10个球分成4份，每份是四个箱子中拿走的个数，（开始假定1|1|1|1，也一样）
那么这个问题就转换为0-0-0-0-0-0-0-0-0-0的挡板问题，这个问题还有一个限制条件是大于1小于6，所以把其中插入3个挡板之后距离间隔超出限制的情况去掉就行，一共有九个空隙，其中挡板位置为（1,2,3）（1,2,4）（1,3,4）（2,3,4）都有球数大于等于6，我粗略数了下就这四种情况，所以答案应该是C（9,3）-4，如果有问题还请指教

追问

我刚刚才看见您的回复。感谢您提供的思路，确实有所启发。不过这个题目中主要有2个难点:一个是上限6，这其实比较好解决，可以先不设限，在减去超限部分，您想出的办法也类似。最主要的难点在于盒子是相同的，这意味着插板法后的分组数字相同时是重复的。这个须要消序解决，消序不好搞，比如您的答案是C（9,3）-4=80，如果除以4！就不是整数了。注：此题枚举法答案为12种方法

追答

！我突然发现这几个盒子是相同的，我那个答案指的是不同情况，如果盒子相同用挡板法C（k，n）就不是很适合了，挡板法一般用作盒子不同的情况。我觉得枚举就比较合适，这个情况真的蛮少的，可以数得过来，那个除以4应该不能消序，我大学没有读数学专业所以了解不深入。而且我刚刚又想到，不一定要插3个板，插2个板也能实现，分出的结果是（1,4,5）（2,4,4）（2,3,5）（3,3,4），插一个板得到（5,5），按照你的答案倒推，插4个板可能就只有7种情况。所以比较稳妥的方法是直接枚举了。
我能力有限，只能提供思路啦。毕竟我仅仅是高中的排列组合水平ε=(´ο｀*)))

追问

消序并非高深学术。组合数就是通过排列数消序后得到的。我这些天没考虑这个问题了，但我想通了消序遇到的问题，是因为那些数据中的存在顺序并不完整造成的。消序应对应完整顺序进行，之后再做其他处理。大体应该如此

Answer 2

从14中取出4个放在四个盒子中有一种方法
没有限制，4的10次方。
有7个在一个盒子中，3×3×3×3
有8个在一个盒子中，3×3×3
有9个在一个盒子中，3×3
有10个在一个盒子中，3
有11个在一个盒子中，1
所以总共有4的10次方-3的4次方-3³-3²-3-1=1048576-3×3×3×3-3×3×3-3×3-3-1=1048455

追问

老师您的答案太夸张了。题目中有球数限制（每个盒子最多6球），另外球和盒子都是相同的。正确答案可以枚举出来的（不超过20种方法），所以我禁止了枚举法。
哦，我看懂了您使用了正难则反的策略，但您忽略了球与盒子是相同的这个条件。但您这个方法应该有可能成功

追答

考虑盒子相同就少了

看来只有枚举法容易

追问

这题我是想在枚举法后找到一个合理的组合数。本来看起来此题用隔板法比较好解。但因为盒子相同，所以用隔板法要考虑消序问题，我发现不行：隔板法消序除以4！得到的不是整数。看看大家有什么好主意？

追答

隔板法也要不同的盒子

Answer 3

平均分成几组就除以几的阶乘，还有一类是既有平均分组也有不平均分组的，也一样，除以的阶乘数为平均分组的组数。
例如：9个平均分成3组，C(9,3)C(6,3)C(3,3)/#!
10个分成4，4，2三组，C(10,4)C(6,4)/2!
10个分成3，3，3，1四组C(10,3)C(7,3)C(4,3)/3!.
10个分成2,2,3,3四组C(10,2)C(8,2)C(6,3)/(2!*2!)

追问

说说此题的解法吧。说原理可以说几天呢。这个问题用挡板法有具体困难，看您有什么方法解决？