Question

请教一道数学题，见问题补充

如图，已知过点A的直线AB；y=-2x+4和直线AC:y=½x-1,过原点O的抛物线的顶点为B（1,2） （1）直线AC与y轴的交点C的坐标为------，∠CAB=----- （2）求出抛物线的解析式 （3）点P（m,n）是抛物线上OB间的一点 ①作PQ平行于y轴交直线AC于点Q,当线段PQ被x轴平分时，求出点P的坐标 ②作PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,四边形PMAN能否为正方形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由

Answer 1

（3）②正确答案应该是存在唯一一个这样的P点。
思路给你点一下（关键是公式不好输入）。
首先（2）求出抛物线的解析式为：y=-2(x-1)^2+2.
因为第（1）问中求出∠CAB=90度，所以AC⊥AB，
又因为PM⊥AB，PN⊥AC，所以四边形PMAN为一个矩形，
若想要PMAN为正方形，只要保证PMAN有2个临边相等就可以了。
下面证明PMAN有2个临边相等。
需要用到点到直线的距离公式（课本上应该有这个公式）：
点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=(Ax0+By0+C)的绝对值/根号下（A^2+B^2).
不妨我们证明PM=PN，P点已知为（m,n），
代入距离公式最终整理得到：(2m+n-4)的绝对值=(m-2n-2)的绝对值
解绝对值方程得到只有一个点P（1/6，11/18）满足条件，（其余三个点都舍掉了）。
还有一点需要提醒你第（2）中求出的抛物线有2条，还有一条是x=(-1/4)(y-2)^2+1,解法类似。