Question

怎么证明：若n不是完全平方数，则根号n不是有理数

Answer 1

反证法：
假设根号n是有理数，设根号n＝a/b(a,b互质),则nb^2=a^2，由算术基本定理，等式两边可分解成相同的标准分解式，而等式右边标准分解式是质数的偶次幂的乘积，因此等式左边标准分解式也是质数的偶次幂的乘积，又因为b^2标准分解式是质数的偶次幂的乘积，所以n的标准分解式一定也是质数的偶次幂的乘积，这样n就是完全平方数。矛盾。假设不成立，根号n是无理数。证毕。类似可证：若n为非完全p次方数，则p次根号n是无理数