Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2-3x在x=1或-1处取得极值。 (1)求函数f(x)的解析式。

(2)若过点A(1,m)(m不为-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2bx-3
f'(-1)=3a-2b-3=0、f'(1)=3a+2b-3=0。a=1、b=0。
(1)f(x)=x^3-3x。
(2)设切点为(t,t^3-3t)。
切线斜率为(t^3-3t-m)/(t-1)。
f'(x)=3x^2-3，所以切线斜率为3t^2-3。
(t^3-3t-m)/(t-1)=3t^2-3、t^3-m=(t-1)(3t^2-3)。
2t^3-3t^2+m+3=0在三个根。
设h(t)=2t^3-3t^2+m+3、h'(t)=6t^2-6t=6t(t-1)。
极大值为h(0)=m+3、极小值为h(1)=m+2。
若2t^3-3t^2+m+3=0在三个根，则h'(0)=m+3>0且h'(1)=m+2<0。
所以，-3<m<-2。