Question

梯形ABCD中AB‖CD,且CD=3AB,EF‖CD,EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE:ED=

梯形ABCD中AB‖CD,且CD=3AB,EF‖CD,EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE:ED=

Answer 1

首先画一个梯形ABCD，然后在梯形内画一条线段EF，使之分别平行AB，CD，切交AD于点E，交BC于点F，使之平分梯形ABCD面积。于是得到两梯形ABEF和EFDC，作AN垂直于CD，交EF于点M。则知AM为梯形ABFE的高，而MN等于梯形EFCD的高。
解:由已知，得
∵CD=3AB
0.5·(AB+EF)·AM=0.5·0.5·(AB+CD)·AN
∴AM/AN=0.5·(AB+CD)/(AB+EF)=2AB/(AB+EF)
0.5·(EF+CD)·MN=0.5·0.5·(AB+CD)·AN
∴
MN/AN=
0.5(AB+CD)/(EF+CD)=2AB/(EF+3AB)
∴
AM/AN+MN/AN=2AB/(AB+EF)+2AB/(EF+3AB)=1
∴EF=√5
AB
∵三角形AEM相似于三角形ADN
∴AE:ED=AM:MN=(EF+CD)/(AB+EF)=(EF+3AB)/(EF+AB)
=(√5
AB+3AB)/(√5
AB+AB)
=(√5
+3)/(√5
+1)