Question

数列{an}满足a1=a，an+1=an+32，n=1，2，3，…．（Ⅰ）若an...

数列{an}满足a1=a，an+1=an+32，n=1，2，3，…． （Ⅰ）若an+1=an，求a的值； （Ⅱ）当a=12时，证明：an＜32； （Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为an+1=an，所以an=an+32，解得an=32或an=-1（舍去）．
由n的任意性知，a1=a=32．（3分）
（Ⅱ）反证法：
假设an≥32，则3+an-12≥32，得an-1≥32，
依此类推，an-2≥32，，a2≥32，a1≥32，与a1=12矛盾．
所以an＜32．（8分）
（Ⅲ）由已知，当n≥2时，2an2=an-1+3，2（an2-1）=an-1+1，2（an-1）（an+1）=an-1+1，
所以2(an-1)=an-1+1an+1．
同理2(an-1-1)=an-2+1an-1+1，2(a3-1)=a2+1a3+1，2(a2-1)=a1+1a2+1．
将上述n-1个式子相乘，得2n-1(a2-1)(a3-1)(an-1-1)(an-1)=a1+1an+1，
即2n-1×Tna1-1=a1+1an+1，(an+1)Tn=a21-12n-1．
所以a12-12n-1≤6对任意n≥2恒成立．
又n=1时，（a1+1）（a1-1）=a12-1≤6，
故a12≤6×2n-1+1对任意n∈N*恒成立．
因为数列{6×2n-1+1}单调递增，所以a12≤6×1+1=7，
即a的取值范围是[-7，7]．（14分）