Question

已知F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐...

已知F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d． （1）证明：d，b，a成等比数列； （2）若M的坐标为(2，1)，求椭圆C的方程； [文科]在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若OA•OB=0，求直线l的方程． [理科]在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点P，使得OP=OA+OB，求直线l的方程．

Answer 1

证明：（1）由条件知M点的坐标为（c，y0），其中|y0|=d，
∴c2a2+d2b2=1，d=b⋅1-c2a2=b2a，（3分）
∴db=ba，
即d，b，a成等比数列．（4分）
解：（2）由条件知c=2，d=1，
∴b2=a⋅1a2=b2+2(6分)
∴解得a=2，b=2．，
∴椭圆方程为x24+y22=1（8分）
[文科]设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
当l⊥x轴时，A（-2，-1）、B（-2，1），
所以OA•OB≠0．（9分）
设直线l的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程得x24+k2(x+2)22=1．（11分）
即（1+2k2）x2-42k2x+4k2-4=0
所以x1+x2=42k21+2k2，x1⋅x2=4k2-41+2k2．（13分）
由OA•OB=0得x1⋅x2+y1⋅y2=0
x1⋅x2+k2(x1+2)(x2+2)=(1+k2)x1⋅x2+2k2(x1+x2)+2k2=0
代入得(1+k2)(4k2-4)1+2k2-42k2⋅2k21+2k2+2k2=0，解得k=±2．
所以直线l的方程为y=±2(x+2)．（16分）
[理科]设点P（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），
由OP=OA+OB，得x=x1+x2y=y1+y2
当l⊥x轴时，A（-2，-1）、B（-2，1），
此时P（-22，0）不在椭圆上．（9分）
设直线l的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程得（1+2k2）x2-42k2x+4k2-4=0．（11分）
所以x1+x2=42k21+2k2，x1⋅x2=4k2-41+2k2．（13分）
把点P（x，y）代入椭圆方程得32k44(1+2k2)2+8k22(1+2k2)2=1，解得k2=12，
所以直线l的方程为y=±22(x+2)．（16分）