Question

已知数列{an}满足an +a（n+1）=2n+1，且a1=1，求{an}，详细步骤

Answer 1

由题意，当n>=2时，an+a(n+1)=2n+1,a(n-1)+an=2(n-1)+1=2n-1,两式相减得，a(n+1)-an=2。所以数列{an}为隔项等差数列。
接下来讨论n分别为奇数和偶数的情况。
当n为奇数时，a1=1，则a(2k-1)=1+2(n-1)=2n-1,其中k>=1且为整数。同理，当n为偶数时，易得a2=2，a(2k)=2+2(n-1)=2n,其中k>=1且为整数。
注意到n取奇数或偶数时，其下标2k-1对应2n-1，2k对应2n，即数列中的第2k-1项(即奇数项)为2n-1,第2k项（即偶数项）为2n，所以可以得出当其下标为n时，an=n。检验得答案正确。所以an=n，为公差为1的等差数列，以1，2，3，4.。。。。排列。