Question

一道高数题，求大神解答，下列微分方程中，二阶线性的是？

Answer 1

解：∵令dy/dx=p，则d^2y/dx^2=p'
∴代入原方程，得
(1+x)p'+xp-y=0
==>y=(1+x)p'+xp..........(1)
==>p=y'=(1+x)p''+p'+xp'+p
((1)式两端对x求导数)
==>(1+x)p''+p'+xp'=0
==>(1+x)(p''+p')=0
==>p''+p'=0..........(2)
∵齐次方程(2)的特征方程是r^2+r=0，则r1=0，r2=-1
∴齐次方程(2)的通解是
p=c1-c2e^(-x)
(c1,c2是任意常数)
==>p'=c2e^(-x)
于是，把p和p'代入(1)式，得
y=(1+x)(c2e^(-x))+x(c1-c2e^(-x))=c1x+c2e^(-x)
故原方程的通解是y=c1x+c2e^(-x)。