高数 微分方程题目求解 5
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解:微分方程为xy"-2(x+1)y'+(x+2)y=0，具体解方程过程在图片中
解微分方程过程
希望可以帮到你
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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简单计算一下即可，答案如图所示
法二
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解:∵微分方程为xy"-2(x+1)y'+(x+2)y=0，化为
xy"-2xy'+xy-2y'+2y=0，x[y"-y'-(y'-y)]-2(y'-y) =0，x(y"-y')=(x+2)(y'-y) ∴设y'-y=u，方程化为
xu'=(x+2)u，xdu/dx=(x+2)u，du/u=(1+2/x)dx
ln|u|=x+lnx²+ln|c|(c为任意非零常数)，得:
u=cx²eˣ ∴有y'-y=cx²eˣ，e⁻ˣy'-ye⁻ˣ=cx²，
(ye⁻ˣ)'=cx²，ye⁻ˣ=cx³/3+a(a为任意常数)，
方程的通解为y=bx³eˣ+aeˣ(c=3b，b为任意常数)
解:∵y=eˣ为微分方程xy"-2(x+1)y'+(x+2)y=0的特解
∴设方程的通解为y=ueˣ，有x(ueˣ)"-2(x+1)(ueˣ)'
+(x+2)ueˣ=0，x(u"+2u'+u)-2(x+1)(u'+u)+
(x+2)u=0，xu"-2u'=0，u"/u'=2/x，
ln|u'|=lnx²+ln|c|(c为任意非零常数)，u'=cx²，
u=cx³/3+a(a为任意常数)，微分方程的通解为
y=cx³eˣ/3+aeˣ
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